Naturaalne logaritm r. Naturaallogaritm ja arv e

Tund ja ettekanne teemadel: "Naturaallogaritmid. Naturaallogaritmi alus. Naturaalarvu logaritm"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 11. klassile
Interaktiivne käsiraamat 9.–11. klassile "Trigonomeetria"
Interaktiivne käsiraamat 10.–11. klassile "Logaritmid"

Mis on naturaallogaritm

Poisid, viimases tunnis õppisime uut erilist numbrit - e. Täna jätkame selle numbriga tööd.
Oleme uurinud logaritme ja teame, et logaritmi baasiks võib olla palju arve, mis on suuremad kui 0. Täna vaatleme ka logaritmi, mille aluseks on arv e. Sellist logaritmi nimetatakse tavaliselt naturaallogaritmiks. Sellel on oma tähistus: $\ln(n)$ on naturaallogaritm. See kirje on samaväärne kirjega: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponent- ja logaritmfunktsioonid on pöördfunktsioonid, siis naturaallogaritm on funktsiooni pöördfunktsioon: $y=e^x$.
Pöördfunktsioonid on sirge $y=x$ suhtes sümmeetrilised.
Joonistame naturaallogaritmi, joonistades eksponentsiaalfunktsiooni sirge $y=x$ suhtes.

Tasub tähele panna, et funktsiooni $y=e^x$ graafiku puutuja kaldenurk punktis (0;1) on 45°. Siis võrdub naturaallogaritmi graafiku puutuja kaldenurk punktis (1;0) samuti 45°. Mõlemad puutujad on paralleelsed sirgega $y=x$. Joonistame puutujad:

Funktsiooni $y=\ln(x)$ omadused

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Ei ole paaris ega paaritu.
3. Suureneb kogu määratlusvaldkonna ulatuses.
4. Ülevalt ei piira, alt ei piira.
5. Pole olemas suurimat väärtust ega minimaalset väärtust.
6. Pidev.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Kumer ülespoole.
9. Igal pool eristuv.

Kõrgema matemaatika käigus on tõestatud, et pöördfunktsiooni tuletis on antud funktsiooni tuletise pöördväärtus.
Tõestusse pole eriti mõtet minna, kirjutame lihtsalt valemi: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Näide.
Arvutage funktsiooni tuletise väärtus: $y=\ln(2x-7)$ punktis $x=4$.
Lahendus.
Üldiselt esindab meie funktsiooni funktsioon $y=f(kx+m)$, me saame arvutada selliste funktsioonide tuletised.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Arvutame tuletise väärtuse vajalikus punktis: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Vastus: 2.

Näide.
Joonistage funktsiooni $y=ln(x)$ graafikule puutuja punktis $х=е$.
Lahendus.
Mäletame hästi funktsiooni graafiku puutuja võrrandit punktis $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Arvutame järjestikku vajalikud väärtused.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Puutuja võrrand punktis $x=e$ on funktsioon $y=\frac(x)(e)$.
Joonistame naturaallogaritmi ja puutuja.

Näide.
Uurige funktsiooni monotoonsuse ja ekstreemsuse suhtes: $y=x^6-6*ln(x)$.
Lahendus.
Funktsiooni $D(y)=(0;+∞)$ definitsioonipiirkond.
Leiame antud funktsiooni tuletise:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Tuletis on olemas kõigi definitsioonipiirkonna x jaoks, siis kriitilisi punkte pole. Leiame statsionaarsed punktid:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punkt $х=-1$ ei kuulu määratlusvaldkonda. Siis on meil üks statsionaarne punkt $x=1$. Leiame suurenemise ja kahanemise intervallid:

Punkt $x=1$ on miinimumpunkt, siis $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Vastus: Funktsioon väheneb lõigul (0;1], funktsioon suureneb kiirel $

Meie ees pole midagi muud kui logaritmi määratlus. Pidage meeles: logaritm on võimsus, millesse argumendi saamiseks tuleb alus ehitada. See on põhi, mis tõstetakse võimsuseks – see on pildil punasega esile tõstetud. Selgub, et alus on alati põhjas! Ma ütlen oma õpilastele seda imelist reeglit kohe esimeses tunnis – ja segadust ei teki.

Oleme definitsiooni välja mõelnud – jääb üle vaid õppida logaritme lugema, s.t. "logi" märgist lahti saada. Alustuseks märgime, et määratlusest tuleneb kaks olulist fakti:

1. Argument ja alus peavad alati olema suuremad kui null. See tuleneb astme määratlusest ratsionaalse astendajaga, millele logaritmi definitsioon taandatakse.
2. Alus peab olema ühest erinev, sest üks jääb igal määral ikkagi üheks. Seetõttu on mõttetu küsimus “millisele võimule tuleb tõsta, et saada kaks”. Sellist kraadi pole olemas!

Selliseid piiranguid nimetatakse vastuvõetavate väärtuste vahemik(ODZ). Selgub, et logaritmi ODZ näeb välja selline: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Pange tähele, et arvule b (logaritmi väärtus) pole piiranguid. Näiteks võib logaritm olla negatiivne: log 2 0,5 = −1, sest 0,5 = 2-1.

Kuid nüüd käsitleme ainult arvulisi avaldisi, kus pole vaja teada logaritmi VA-d. Kõiki piiranguid on probleemide autorid juba arvesse võtnud. Kui aga mängu tulevad logaritmilised võrrandid ja ebavõrdsused, muutuvad DL-nõuded kohustuslikuks. Võib ju alus ja argument sisaldada väga tugevaid konstruktsioone, mis ei pruugi eeltoodud piirangutele vastata.

Nüüd vaatame logaritmide arvutamise üldist skeemi. See koosneb kolmest etapist:

1. Väljendage alust a ja argumenti x astmena, mille minimaalne võimalik alus on suurem kui üks. Teel on parem kümnendkohtadest lahti saada;
2. Lahenda muutuja b võrrand: x = a b ;
3. Saadud arv b on vastuseks.

See on kõik! Kui logaritm osutub irratsionaalseks, on see nähtav juba esimeses etapis. Nõue, et baas peab olema suurem kui üks, on väga oluline: see vähendab vea tõenäosust ja lihtsustab oluliselt arvutusi. Sama on kümnendmurdudega: kui muudate need kohe tavalisteks, on vigu palju vähem.

Vaatame konkreetsete näidete abil, kuidas see skeem töötab:

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 5 25

1. Kujutleme alust ja argumenti viie astmena: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. Loome ja lahendame võrrandi:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Saime vastuse: 2.

Ülesanne. Arvutage logaritm:

[Pildi pealdis]

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 4 64

1. Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Loome ja lahendame võrrandi:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Saime vastuse: 3.

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 16 1

1. Kujutleme alust ja argumenti kahe astmena: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Loome ja lahendame võrrandi:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Saime vastuseks: 0.

Ülesanne. Arvutage logaritm: log 7 14

1. Kujutleme alust ja argumenti seitsme astmena: 7 = 7 1 ; 14 ei saa esitada seitsme astmena, kuna 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Eelmisest lõigust järeldub, et logaritm ei lähe arvesse;
3. Vastus ei muutu: logi 7 14.

Väike märkus viimase näite kohta. Kuidas olla kindel, et arv ei ole teise arvu täpne aste? See on väga lihtne – lihtsalt arvestage see peamiste tegurite hulka. Ja kui selliseid tegureid ei saa koguda samade astendajatega astmeteks, siis pole algne arv täpne aste.

Ülesanne. Uurige, kas arvud on täpsed astmed: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - täpne aste, sest on ainult üks kordaja;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ei ole täpne võimsus, kuna tegureid on kaks: 3 ja 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - täpne aste;
35 = 7 · 5 - jällegi mitte täpne võimsus;
14 = 7 · 2 - jällegi mitte täpne aste;

Pange tähele ka seda, et algarvud ise on alati iseenda täpsed astmed.

Kümnendlogaritm

Mõned logaritmid on nii levinud, et neil on eriline nimi ja sümbol.

X kümnendlogaritm on logaritm aluse 10-ni, st. Aste, milleni tuleb arvu x saamiseks tõsta arv 10. Nimetus: lg x.

Näiteks log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - jne.

Nüüdsest, kui õpikusse ilmub fraas nagu “Leia lg 0,01”, siis teadke, et see pole kirjaviga. See on kümnendlogaritm. Kui te aga pole selle tähistusega tuttav, saate selle alati ümber kirjutada:
log x = log 10 x

Kõik, mis kehtib tavaliste logaritmide puhul, kehtib ka kümnendlogaritmide puhul.

Naturaalne logaritm

On veel üks logaritm, millel on oma tähistus. Mõnes mõttes on see isegi olulisem kui kümnendkoht. Me räägime naturaallogaritmist.

X-i naturaallogaritm on logaritm aluse e-ni, st. aste, milleni tuleb arvu e tõsta, et saada arv x. Nimetus: ln x .

Paljud küsivad: mis on number e? See on irratsionaalne arv, selle täpset väärtust ei saa leida ega üles kirjutada. Toon ainult esimesed arvud:
e = 2,718281828459...

Me ei hakka üksikasjalikult kirjeldama, mis see number on ja miks seda vaja on. Pidage meeles, et e on naturaallogaritmi alus:
ln x = log e x

Seega ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - jne. Teisest küljest on ln 2 irratsionaalne arv. Üldiselt on mis tahes ratsionaalarvu naturaallogaritm irratsionaalne. Välja arvatud muidugi üks: ln 1 = 0.

Naturaallogaritmide puhul kehtivad kõik reeglid, mis kehtivad tavaliste logaritmide puhul.