संख्यात्मक और वर्णानुक्रमिक अभिव्यक्तियों में विभिन्न अंकगणितीय संक्रियाओं के संकेत शामिल हो सकते हैं। अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय और अभिव्यक्तियों के मूल्यों की गणना करते समय, क्रियाएं एक निश्चित क्रम में की जाती हैं, क्योंकि एक सख्त क्रम होता है जिसमें गणितीय संचालन किया जाता है

पहले गुणा और भाग, फिर जोड़ और घटाव

कोष्ठक के बिना अभिव्यक्तियों में क्रियाओं के निष्पादन का क्रम:

- क्रियाएँ बाएँ से दाएँ क्रम में की जाती हैं,

- पहले गुणा और भाग किया जाता है, और फिर जोड़ और घटाव किया जाता है.

1. एक उदाहरण पर विचार करें: चरण 17−3+6 का पालन करें

मूल अभिव्यक्ति में गुणा या भाग नहीं है और कोष्ठक नहीं हैं। इसलिए हमें सभी स्टेप्स को फॉलो करना चाहिए बाएँ से दाएँ क्रम में, अर्थात, पहले हम 17 में से 3 घटाते हैं, हमें 14 मिलता है, जिसके बाद हम 14 के परिणामी अंतर में 6 जोड़ते हैं, हमें 20 मिलता है।

संक्षेप में, समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है: 17 − 3 + 6 = 14 + 6 = 20

2. व्यंजक 17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 का मान परिकलित करें

सबसे पहले, आइए यह निर्धारित करें कि अभिव्यक्ति में क्रियाएँ किस क्रम में की जानी चाहिए। इसमें गुणा और भाग तथा जोड़ और घटाव दोनों शामिल हैं। सबसे पहले आपको बाएँ से दाएँ की आवश्यकता है गुणा और भाग करना.

4:2 अब 4 को 2 से विभाजित करने पर हमें 2 प्राप्त होता है।

हम पाए गए मान 10 को 5 · 6: 3 के बजाय मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं, और 4: 2 के बजाय - मान 2, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 - 10 − 2+ 2.

परिणामी अभिव्यक्ति में अब गुणा और भाग नहीं है, इसलिए यह बना हुआ है बाएँ से दाएँ क्रम मेंशेष क्रियाएँ पूर्ण करें: 17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7.

प्रथम एवं द्वितीय चरण की कार्यवाही

निष्पादन अनुक्रम पर निर्णय लेना आसान बनाने के लिए उनके कार्यों को दो चरणों में विभाजित किया गया था:

पहला चरण जोड़ और घटाव है,

दूसरा चरण गुणा और भाग है।

यदि अभिव्यक्ति में कोष्ठक नहीं है, तो बाएँ से दाएँ क्रम में पहले दूसरे चरण की क्रियाएँ (गुणा और भाग) की जाती हैं, फिर पहले चरण की क्रियाएँ (जोड़ और घटाव) की जाती हैं।

कोष्ठक वाले भावों में अंकगणितीय संक्रियाओं का क्रम

कोष्ठक वाले भावों में क्रियाओं के निष्पादन के क्रम को निर्दिष्ट करने वाला नियम इस प्रकार तैयार किया गया है: सबसे पहले, कोष्ठक में क्रियाएँ की जाती हैं, जबकि गुणा और भाग भी बाएँ से दाएँ क्रम में किया जाता है, फिर जोड़ और घटाव किया जाता है।

आइए एक उदाहरण देखें: 99: (45 – 39 + 5) – 25:5

गणना प्रक्रिया इस प्रकार है. सबसे पहले, आइए कोष्ठक में दिए गए चरणों को पूरा करें:

45 – 39 = 6 ; 6 + 5 = 11 ,

फिर दूसरे चरण की कार्रवाई

प्राथमिक विद्यालय ख़त्म होने वाला है, और जल्द ही बच्चा गणित की उन्नत दुनिया में कदम रखेगा। लेकिन इस अवधि के दौरान पहले से ही छात्र को विज्ञान की कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है। एक साधारण कार्य करते समय, बच्चा भ्रमित हो जाता है और खो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप अंततः किए गए कार्य के लिए नकारात्मक अंक प्राप्त होता है। ऐसी परेशानियों से बचने के लिए, उदाहरणों को हल करते समय, आपको उस क्रम में नेविगेट करने में सक्षम होना चाहिए जिसमें आपको उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है। कार्यों को गलत तरीके से वितरित करने के कारण, बच्चा कार्य को सही ढंग से पूरा नहीं करता है। लेख उदाहरणों को हल करने के लिए बुनियादी नियमों का खुलासा करता है जिसमें कोष्ठक सहित गणितीय गणनाओं की पूरी श्रृंखला शामिल है। चौथी कक्षा के गणित में प्रक्रिया के नियम और उदाहरण।

कार्य पूरा करने से पहले, अपने बच्चे से उन कार्यों को गिनने के लिए कहें जो वह करने जा रहा है। यदि आपको कोई कठिनाई हो तो कृपया सहायता करें।

कोष्ठक के बिना उदाहरणों को हल करते समय पालन करने योग्य कुछ नियम:

यदि किसी कार्य के लिए क्रियाओं की श्रृंखला की आवश्यकता होती है, तो आपको पहले भाग या गुणा करना होगा, फिर। पत्र की प्रगति के अनुसार सभी क्रियाएं की जाती हैं। अन्यथा निर्णय का परिणाम सही नहीं होगा.

यदि उदाहरण में आपको निष्पादित करने की आवश्यकता है, तो हम इसे बाएं से दाएं क्रम में करते हैं।

27-5+15=37 (उदाहरण को हल करते समय, हम नियम द्वारा निर्देशित होते हैं। पहले हम घटाव करते हैं, फिर जोड़)।

अपने बच्चे को हमेशा किए गए कार्यों की योजना बनाना और उन्हें गिनना सिखाएं।

प्रत्येक हल की गई कार्रवाई के उत्तर उदाहरण के ऊपर लिखे गए हैं। इससे बच्चे के लिए गतिविधियों को नेविगेट करना बहुत आसान हो जाएगा।

आइए एक अन्य विकल्प पर विचार करें जहां क्रियाओं को क्रम में वितरित करना आवश्यक है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, समाधान करते समय नियम का पालन किया जाता है: पहले हम उत्पाद की तलाश करते हैं, फिर हम अंतर की तलाश करते हैं।

ये सरल उदाहरण हैं जिन्हें हल करते समय सावधानीपूर्वक विचार करने की आवश्यकता है। कई बच्चे तब दंग रह जाते हैं जब वे कोई ऐसा कार्य देखते हैं जिसमें न केवल गुणा और भाग होता है, बल्कि कोष्ठक भी होता है। एक छात्र जो कार्य करने की प्रक्रिया नहीं जानता, उसके मन में ऐसे प्रश्न होते हैं जो उसे कार्य पूरा करने से रोकते हैं।

जैसा कि नियम में कहा गया है, पहले हम उत्पाद या भागफल ढूंढते हैं, और फिर बाकी सब कुछ। लेकिन कोष्ठक हैं! ऐसे में क्या करें?

कोष्ठक के साथ उदाहरण हल करना

आइए एक विशिष्ट उदाहरण देखें:

• इस कार्य को निष्पादित करते समय, हम सबसे पहले कोष्ठक में संलग्न अभिव्यक्ति का मान ज्ञात करते हैं।
• आपको गुणा से शुरुआत करनी चाहिए, फिर जोड़ना चाहिए।
• कोष्ठक में अभिव्यक्ति हल होने के बाद, हम उनके बाहर की कार्रवाइयों के लिए आगे बढ़ते हैं।
• प्रक्रिया के नियमों के अनुसार अगला चरण गुणन है।
• अंतिम चरण होगा.

जैसा कि हम दृश्य उदाहरण में देख सकते हैं, सभी क्रियाएँ क्रमांकित हैं। विषय को सुदृढ़ करने के लिए, अपने बच्चे को स्वयं कई उदाहरण हल करने के लिए आमंत्रित करें:

जिस क्रम में अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना की जानी चाहिए उसे पहले ही व्यवस्थित किया जा चुका है। बच्चे को केवल सीधे निर्णय लेना होगा।

आइए कार्य को जटिल बनाएं। बच्चे को स्वयं भावों का अर्थ ढूंढने दें।

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

अपने बच्चे को सभी कार्यों को ड्राफ्ट फॉर्म में हल करना सिखाएं। इस मामले में, छात्र के पास गलत निर्णय या गलती को सुधारने का अवसर होगा। कार्यपुस्तिका में सुधार की अनुमति नहीं है. कार्यों को स्वयं पूरा करने से बच्चों को अपनी गलतियाँ नजर आने लगती हैं।

बदले में, माता-पिता को गलतियों पर ध्यान देना चाहिए, बच्चे को उन्हें समझने और सुधारने में मदद करनी चाहिए। आपको किसी छात्र के दिमाग पर बड़ी मात्रा में काम का बोझ नहीं डालना चाहिए। ऐसे कार्यों से आप बच्चे की ज्ञान की इच्छा को हतोत्साहित करेंगे। हर चीज़ में अनुपात का भाव होना चाहिए.

एक ब्रेक ले लो। बच्चे का ध्यान भटकना चाहिए और कक्षाओं से छुट्टी लेनी चाहिए। याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि हर किसी के पास गणितीय दिमाग नहीं होता है। हो सकता है कि आपका बच्चा बड़ा होकर एक प्रसिद्ध दार्शनिक बने।

किसी भी क्रम में गुणा करें.

पद्धतिगत रूप से, इस नियम का उद्देश्य बच्चे को शून्य में समाप्त होने वाली संख्याओं को गुणा करने के तरीकों से परिचित होने के लिए तैयार करना है, इसलिए उन्हें केवल चौथी कक्षा में ही इससे परिचित कराया जाता है। वास्तव में, गुणन का यह गुण आपको दूसरी और तीसरी कक्षा दोनों में मानसिक गणनाओं को तर्कसंगत बनाने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए:

गणना करें: (7 2) 5 =...

इस मामले में विकल्प की गणना करना बहुत आसान है

7 (2 5) = 7 10 - 70.

गणना करें: 12 (5 7) = ...

8 इस मामले में विकल्प (12-5)-7 = 60-7 = 420 की गणना करना बहुत आसान है।

गणना तकनीक

1. शून्य पर समाप्त होने वाली संख्याओं का गुणा और भाग: 20 3; 3 20; 60:3; 80:20

इस मामले में कम्प्यूटेशनल तकनीक दी गई संख्याओं में दहाई की संख्या को व्यक्त करने वाली एकल-अंकीय संख्याओं को गुणा और विभाजित करने के लिए आती है। उदाहरण के लिए:

20 3 =... 3 20 =... 60:3 = ...

2 दिसंबर 3 = 20 3 = 60 बी दिसंबर: 3 = 2 दिसंबर।

20 - 3 = 60 3 20 = 60 60: 3 = 20

80:20 मामले के लिए, दो गणना विधियों का उपयोग किया जा सकता है: पिछले मामलों में उपयोग की जाने वाली विधि, और भागफल का चयन करने की विधि।

उदाहरण के लिए: 80: 20 =... 80: 20 =...

8 दिसंबर: 2 दिसंबर. = 4 या 20 4 = 80

80: 20 = 4 80: 20 = 4

पहले मामले में, अंकीय इकाइयों के रूप में दो-अंकीय दहाई का प्रतिनिधित्व करने की तकनीक का उपयोग किया गया था, जो विचाराधीन मामले को सारणीबद्ध (8:2) में बदल देता है। दूसरे मामले में, भागफल अंक चयन द्वारा पाया जाता है और गुणन द्वारा जांचा जाता है। दूसरे मामले में, बच्चा तुरंत भागफल की सही संख्या का चयन नहीं कर सकता है, जिसका अर्थ है कि जाँच एक से अधिक बार की जाएगी।

2. दो अंकों की संख्या को एक अंक की संख्या से गुणा करने की विधि: 23 4; 4-23

दो अंकों की संख्या को एक अंक की संख्या से गुणा करने पर, निम्नलिखित ज्ञान और कौशल अद्यतन होते हैं:

प्रपत्र 4 23 के गुणन के मामले में, पहले कारकों की पुनर्व्यवस्था लागू की जाती है, और फिर ऊपर बताई गई समान गुणन योजना लागू की जाती है।

3. दो अंकों की संख्या को एक अंक की संख्या से विभाजित करने की विधि: 48:3; 48:2

दो अंकों की संख्या को एक अंक की संख्या से विभाजित करते समय, निम्नलिखित ज्ञान और कौशल अद्यतन किए जाते हैं:

4. दो अंकों की संख्या को दो अंकों की संख्या से विभाजित करने की विधि: 68:17

दो अंकों की संख्या को दो अंकों की संख्या से विभाजित करते समय निम्नलिखित ज्ञान और कौशल की आवश्यकता होती है:

अंतिम तकनीक की कठिनाई यह है कि बच्चा तुरंत भागफल के वांछित अंक का चयन नहीं कर सकता है और चयनित अंकों की कई जाँच करता है, जिसके लिए काफी जटिल गणना की आवश्यकता होती है। कई बच्चे इस प्रकार की गणना करने में बहुत समय व्यतीत करते हैं, क्योंकि वे उचित भागफल संख्या का चयन करने के लिए इतना नहीं बल्कि दो से शुरू करके सभी कारकों को एक पंक्ति में क्रमबद्ध करने के लिए शुरुआत करते हैं।

गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए, दो तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है:

1) लाभांश के अंतिम अंक की ओर उन्मुखीकरण;

2) गोलाई विधि.

पहली नियुक्तियह मानता है कि भागफल के संभावित अंक का चयन करते समय, बच्चे को गुणन तालिका के ज्ञान द्वारा निर्देशित किया जाता है, तुरंत चयनित अंक (संख्या) और भाजक के अंतिम अंक को गुणा किया जाता है।

उदाहरण के लिए, 3-7 = 21. संख्या 68 का अंतिम अंक 8 है, जिसका अर्थ है कि 17 को 3 से गुणा करने का कोई मतलब नहीं है, भाजक का अंतिम अंक अभी भी मेल नहीं खाता है। आइए भागफल में संख्या 4 को आज़माएँ - 7 4 = 28 को गुणा करें। अंतिम अंक मेल खाता है, इसलिए गुणनफल 17 4 ज्ञात करना समझ में आता है।

दूसरी नियुक्तिइसमें भाजक को पूर्णांकित करना और पूर्णांकित भाजक के आधार पर भागफल अंक का चयन करना शामिल है।

उदाहरण के लिए, 68:17, 17 के भाजक को 20 तक पूर्णांकित किया जाता है। जाँच करने पर 3 का अनुमानित भागफल 20 3 = 60 देता है।< 68, значит имеет смысл сразу проверять в качестве цифры частного 4:17 4 = 68.

ये तकनीकें आपको इस प्रकार की गणना करते समय प्रयास और समय की लागत को कम करने की अनुमति देती हैं, लेकिन इसके लिए गुणन तालिका का अच्छा ज्ञान और संख्याओं को गोल करने की क्षमता की आवश्यकता होती है।

0,1,2,3,4 पर समाप्त होने वाले पूर्णांकों को उन अंकों को हटाकर, निकटतम पूर्ण दस में पूर्णांकित किया जाता है।

उदाहरण के लिए, संख्याओं 12, 13, 14 को 10 तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए। संख्याओं 62, 63, 64 को 60 तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए।

5, 6, 7,8,9 पर समाप्त होने वाले पूर्णांकों को निकटतम पूर्ण दस तक पूर्णांकित किया जाता है।

उदाहरण के लिए, संख्याएँ 15,16,17,18,19 को 20 तक पूर्णांकित किया गया है। संख्याएँ 45,47, 49 को 50 तक पूर्णांकित किया गया है।

गुणा और भाग वाले भावों में संक्रियाओं का क्रम

क्रियाओं के क्रम के नियम अभिव्यक्तियों की मुख्य विशेषताओं को निर्दिष्ट करते हैं जिनका उपयोग उनके मूल्यों की गणना करते समय किया जाना चाहिए।

अंकगणितीय अभिव्यक्तियों में संचालन के क्रम को परिभाषित करने वाले पहले नियम जोड़ और घटाव संचालन वाले अभिव्यक्तियों में क्रियाओं के क्रम को निर्दिष्ट करते हैं:

1. कोष्ठक रहित अभिव्यक्तियों में जिनमें केवल जोड़ और घटाव संक्रियाएं होती हैं, क्रियाएं उनके लिखे जाने के क्रम में की जाती हैं: बाएं से दाएं।

2. कोष्ठक में क्रियाएँ पहले की जाती हैं।

3. यदि किसी अभिव्यक्ति में केवल जोड़ क्रियाएं हैं, तो दो आसन्न पदों को हमेशा उनके योग (जोड़ की संयुक्त संपत्ति) द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

ग्रेड 3 में, गुणा और भाग वाले भावों में क्रिया करने के क्रम के नए नियमों का अध्ययन किया जाता है:

4. कोष्ठक रहित अभिव्यक्तियों में, जिनमें केवल गुणा और भाग होता है, क्रियाएं उनके लिखे जाने के क्रम में की जाती हैं: बाएं से दाएं।

5. बिना कोष्ठक वाले भावों में जोड़ और घटाव से पहले गुणा और भाग किया जाता है।

इस स्थिति में, कोष्ठक में कार्रवाई पहले करने की सेटिंग संरक्षित रहती है। इस सेटिंग के उल्लंघन के संभावित मामलों पर पहले चर्चा की गई थी।

क्रियाओं के क्रम के नियम गणितीय अभिव्यक्तियों (उदाहरणों) के मूल्यों की गणना के लिए सामान्य नियम हैं, जिन्हें स्कूल में गणित के अध्ययन की पूरी अवधि के दौरान बनाए रखा जाता है। इस संबंध में, किसी बच्चे में कार्य करने के लिए एल्गोरिदम की स्पष्ट समझ विकसित करना प्राथमिक विद्यालय में गणित पढ़ाने का एक महत्वपूर्ण क्रमिक कार्य है। समस्या यह है कि कार्यों के क्रम के नियम काफी परिवर्तनशील हैं और हमेशा स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 48-3 + 7 + 8 में, एक सामान्य नियम के रूप में, जोड़ और घटाव संचालन वाले कोष्ठक के बिना अभिव्यक्ति के लिए नियम 1 लागू किया जाना चाहिए। वहीं, तर्कसंगत गणना के विकल्प के रूप में, आप भाग 7 + 8 के योग को बदलने की तकनीक का उपयोग कर सकते हैं, क्योंकि 48 में से संख्या 3 घटाने पर आपको 45 मिलता है, जिसमें 15 जोड़ना सुविधाजनक होता है।

हालाँकि, इस तरह की अभिव्यक्ति का विश्लेषण प्राथमिक ग्रेड में प्रदान नहीं किया जाता है, क्योंकि ऐसी आशंका है कि इस दृष्टिकोण की अपर्याप्त समझ के साथ, बच्चा फॉर्म 72 - 9 - 3 + 6 के मामलों में इसका उपयोग करेगा। मामले में, व्यंजक 3 + 6 को योग से बदलना असंभव है, इससे उत्तर गलत हो जाएगा।

क्रियाओं के क्रम को निर्धारित करने में नियमों के पूरे समूह और नियमों के प्रकारों के अनुप्रयोग में महान परिवर्तनशीलता के लिए सोच में महत्वपूर्ण लचीलेपन, गणितीय क्रियाओं के अर्थ की अच्छी समझ, मानसिक क्रियाओं का क्रम, गणितीय "भावना" और अंतर्ज्ञान की आवश्यकता होती है। गणितज्ञ इसे "संख्या ज्ञान" कहते हैं)। वास्तव में, किसी बच्चे को उन विशेषताओं के दृष्टिकोण से संख्यात्मक अभिव्यक्ति का विश्लेषण करने के लिए स्पष्ट रूप से स्थापित प्रक्रिया का सख्ती से पालन करना सिखाना बहुत आसान है, जिन पर प्रत्येक नियम केंद्रित है।

कार्रवाई की दिशा निर्धारित करते समय इस तरह सोचें:

1) यदि कोष्ठक हैं, तो मैं पहले कोष्ठक में लिखी क्रिया करता हूँ।

2) मैं क्रम से गुणा और भाग करता हूं।

3) मैं क्रम से जोड़ और घटाव करता हूं।

यह एल्गोरिथम क्रियाओं का क्रम बिल्कुल स्पष्ट रूप से निर्धारित करता है, हालाँकि मामूली बदलाव के साथ।

इन अभिव्यक्तियों में, कार्रवाई का क्रम एल्गोरिथ्म द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है और यही एकमात्र संभव है। चलिए अन्य उदाहरण देते हैं

इस उदाहरण में गुणा और भाग करने के बाद, आप तुरंत 54 में 6 जोड़ सकते हैं, और 18 में से 9 घटा सकते हैं, और फिर परिणाम जोड़ सकते हैं। तकनीकी रूप से, यह एल्गोरिथम द्वारा निर्धारित पथ की तुलना में बहुत आसान होगा, उदाहरण में क्रियाओं का आरंभिक भिन्न क्रम संभव है:

इस प्रकार, प्राथमिक विद्यालय में अभिव्यक्तियों में क्रियाओं के क्रम को एक निश्चित तरीके से निर्धारित करने की क्षमता विकसित करने का प्रश्न बच्चे को तर्कसंगत गणना के तरीकों को सिखाने की आवश्यकता का खंडन करता है।

उदाहरण के लिए, इस मामले में, क्रियाओं का क्रम एल्गोरिदम द्वारा बिल्कुल स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, और अंकों के माध्यम से संक्रमण के साथ जटिल मानसिक गणनाओं की एक श्रृंखला की आवश्यकता होती है: 42 - 7 और 35 + 8।

यदि, भाग 21:3 करने के बाद, आप जोड़ 42 + 8 = 50 करते हैं, और फिर 50 - 7 = 43 घटाते हैं, जो तकनीकी रूप से बहुत आसान है, तो उत्तर वही होगा। यह गणना पथ पाठ्यपुस्तक में दी गई सेटिंग का खंडन करता है

और अभिव्यक्तियों के मूल्यों की गणना करते समय, क्रियाएं एक निश्चित क्रम में की जाती हैं, दूसरे शब्दों में, आपको निरीक्षण करना चाहिए क्रियाओं का क्रम.

इस लेख में, हम यह पता लगाएंगे कि कौन से कार्य पहले किए जाने चाहिए और कौन से बाद में। आइए सबसे सरल मामलों से शुरू करें, जब अभिव्यक्ति में प्लस, माइनस, गुणा और विभाजित संकेतों से जुड़े केवल संख्याएं या चर होते हैं। आगे, हम बताएंगे कि कोष्ठक वाले भावों में क्रियाओं के किस क्रम का पालन किया जाना चाहिए। अंत में, आइए उस क्रम को देखें जिसमें शक्तियों, जड़ों और अन्य कार्यों वाले अभिव्यक्तियों में क्रियाएं की जाती हैं।

पेज नेविगेशन.

पहले गुणा और भाग, फिर जोड़ और घटाव

स्कूल निम्नलिखित देता है एक नियम जो उस क्रम को निर्धारित करता है जिसमें कोष्ठक के बिना अभिव्यक्तियों में क्रियाएं की जाती हैं:

• क्रियाएँ बाएँ से दाएँ क्रम में की जाती हैं,
• इसके अलावा, गुणा और भाग पहले किया जाता है, और फिर जोड़ और घटाव किया जाता है।

बताया गया नियम काफी स्वाभाविक रूप से माना जाता है। बाएँ से दाएँ क्रम में क्रियाएँ करना इस तथ्य से समझाया गया है कि हमारे लिए बाएँ से दाएँ रिकॉर्ड रखने की प्रथा है। और तथ्य यह है कि जोड़ और घटाव से पहले गुणा और भाग किया जाता है, इन क्रियाओं के अर्थ से समझाया जाता है।

आइए कुछ उदाहरण देखें कि यह नियम कैसे लागू होता है। उदाहरण के लिए, हम सबसे सरल संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ लेंगे ताकि गणनाओं से विचलित न हों, बल्कि कार्यों के क्रम पर विशेष रूप से ध्यान केंद्रित करें।

उदाहरण।

चरण 7−3+6 का पालन करें।

समाधान।

मूल अभिव्यक्ति में कोष्ठक नहीं है, और इसमें गुणा या भाग नहीं है। इसलिए, हमें सभी क्रियाएं बाएं से दाएं क्रम में करनी चाहिए, यानी, पहले हम 7 में से 3 घटाते हैं, हमें 4 मिलता है, जिसके बाद हम 4 के परिणामी अंतर में 6 जोड़ते हैं, हमें 10 मिलता है।

संक्षेप में, समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है: 7−3+6=4+6=10.

उत्तर:

7−3+6=10 .

उदाहरण।

अभिव्यक्ति 6:2·8:3 में क्रियाओं का क्रम इंगित करें।

समाधान।

समस्या के प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए बिना कोष्ठक वाले भावों में क्रियाओं के निष्पादन के क्रम को दर्शाने वाले नियम की ओर मुड़ें। मूल अभिव्यक्ति में केवल गुणा और भाग की संक्रियाएँ शामिल हैं, और नियम के अनुसार, उन्हें बाएँ से दाएँ क्रम में निष्पादित किया जाना चाहिए।

उत्तर:

सर्वप्रथम हम 6 को 2 से विभाजित करते हैं, इस भागफल को 8 से गुणा करते हैं, और अंत में परिणाम को 3 से विभाजित करते हैं।

उदाहरण।

व्यंजक 17−5·6:3−2+4:2 का मान परिकलित करें.

समाधान।

सबसे पहले, आइए यह निर्धारित करें कि मूल अभिव्यक्ति में क्रियाएँ किस क्रम में की जानी चाहिए। इसमें गुणा और भाग तथा जोड़ और घटाव दोनों शामिल हैं। सबसे पहले, बाएं से दाएं, आपको गुणा और भाग करना होगा। तो हम 5 को 6 से गुणा करते हैं, हमें 30 मिलता है, हम इस संख्या को 3 से विभाजित करते हैं, हमें 10 मिलता है। अब हम 4 को 2 से विभाजित करते हैं, हमें 2 प्राप्त होता है। हम पाए गए मान 10 को 5·6:3 के बजाय मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं, और 4:2 के बजाय - मान 2, हमारे पास है 17−5·6:3−2+4:2=17−10−2+2.

परिणामी अभिव्यक्ति में अब गुणा और भाग शामिल नहीं है, इसलिए यह बाएं से दाएं क्रम में शेष क्रियाएं करना बाकी है: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7.

उत्तर:

17−5·6:3−2+4:2=7.

सबसे पहले, किसी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करते समय कार्यों को करने के क्रम को भ्रमित न करने के लिए, कार्रवाई के संकेतों के ऊपर संख्याओं को रखना सुविधाजनक होता है जो उस क्रम के अनुरूप होते हैं जिसमें वे किए जाते हैं। पिछले उदाहरण के लिए यह इस तरह दिखेगा: .

अक्षर अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय संचालन का वही क्रम - पहले गुणा और भाग, फिर जोड़ और घटाव - का पालन किया जाना चाहिए।

प्रथम एवं द्वितीय चरण की कार्यवाही

कुछ गणित पाठ्यपुस्तकों में अंकगणितीय संक्रियाओं को पहले और दूसरे चरण की संक्रियाओं में विभाजित किया गया है। आइए इसका पता लगाएं।

परिभाषा।

प्रथम चरण की कार्यवाहीजोड़ और घटाव को कहा जाता है, और गुणा और भाग को कहा जाता है दूसरे चरण की कार्रवाई.

इन शर्तों में, पिछले पैराग्राफ का नियम, जो क्रियाओं के निष्पादन का क्रम निर्धारित करता है, इस प्रकार लिखा जाएगा: यदि अभिव्यक्ति में कोष्ठक नहीं हैं, तो बाएं से दाएं क्रम में, दूसरे चरण की क्रियाएं (गुणा) और विभाजन) पहले किया जाता है, फिर पहले चरण की क्रियाएं (जोड़ और घटाव)।

कोष्ठक वाले भावों में अंकगणितीय संक्रियाओं का क्रम

अभिव्यक्तियों में अक्सर उस क्रम को इंगित करने के लिए कोष्ठक होते हैं जिसमें क्रियाएं की जानी चाहिए। इस मामले में एक नियम जो कोष्ठक वाले भावों में क्रियाओं के निष्पादन के क्रम को निर्दिष्ट करता है, निम्नानुसार तैयार किया गया है: सबसे पहले, कोष्ठक में क्रियाएं की जाती हैं, जबकि गुणा और भाग भी बाएं से दाएं क्रम में किया जाता है, फिर जोड़ और घटाव किया जाता है।

इसलिए, कोष्ठक में दिए गए भावों को मूल अभिव्यक्ति के घटकों के रूप में माना जाता है, और वे हमें पहले से ज्ञात क्रियाओं के क्रम को बनाए रखते हैं। आइए अधिक स्पष्टता के लिए उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

इन चरणों का पालन करें 5+(7−2·3)·(6−4):2.

समाधान।

अभिव्यक्ति में कोष्ठक शामिल हैं, तो आइए पहले इन कोष्ठकों में संलग्न अभिव्यक्तियों में क्रियाएं करें। आइए अभिव्यक्ति 7−2·3 से शुरू करें। इसमें आपको पहले गुणा करना होगा, और उसके बाद ही घटाना होगा, हमारे पास 7−2·3=7−6=1 है। आइए कोष्ठक 6−4 में दूसरे व्यंजक पर चलते हैं। यहां केवल एक ही क्रिया है - घटाव, हम इसे 6−4 = 2 करते हैं।

हम प्राप्त मूल्यों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2. परिणामी अभिव्यक्ति में, हम पहले बाएं से दाएं गुणा और भाग करते हैं, फिर घटाव करते हैं, हमें 5+1·2:2=5+2:2=5+1=6 मिलता है। इस बिंदु पर, सभी क्रियाएं पूरी हो गई हैं, हमने उनके कार्यान्वयन के निम्नलिखित क्रम का पालन किया है: 5+(7−2·3)·(6−4):2.

आइए एक संक्षिप्त समाधान लिखें: 5+(7−2·3)·(6−4):2=5+1·2:2=5+1=6.

उत्तर:

5+(7−2·3)·(6−4):2=6.

ऐसा होता है कि किसी अभिव्यक्ति में कोष्ठक के भीतर कोष्ठक होते हैं। इससे डरने की कोई जरूरत नहीं है, आपको बस कोष्ठक वाले भावों में क्रियाएं करने के लिए बताए गए नियम को लगातार लागू करने की जरूरत है। आइए उदाहरण का समाधान दिखाएं।

उदाहरण।

अभिव्यक्ति 4+(3+1+4·(2+3)) में संचालन करें।

समाधान।

यह कोष्ठक के साथ एक अभिव्यक्ति है, जिसका अर्थ है कि क्रियाओं का निष्पादन कोष्ठक में अभिव्यक्ति के साथ शुरू होना चाहिए, अर्थात 3+1+4·(2+3) के साथ। इस अभिव्यक्ति में कोष्ठक भी शामिल हैं, इसलिए आपको पहले उनमें क्रियाएँ निष्पादित करनी होंगी। आइए ऐसा करें: 2+3=5. पाए गए मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 3+1+4·5 प्राप्त होता है। इस अभिव्यक्ति में, हम पहले गुणा करते हैं, फिर जोड़ते हैं, हमारे पास 3+1+4·5=3+1+20=24 होता है। प्रारंभिक मान, इस मान को प्रतिस्थापित करने के बाद, 4+24 का रूप ले लेता है, और जो कुछ बचता है वह क्रियाओं को पूरा करना है: 4+24=28।

उत्तर:

4+(3+1+4·(2+3))=28.

सामान्य तौर पर, जब किसी अभिव्यक्ति में कोष्ठक के भीतर कोष्ठक होते हैं, तो आंतरिक कोष्ठक से शुरू करके बाहरी कोष्ठक की ओर बढ़ना अक्सर सुविधाजनक होता है।

उदाहरण के लिए, मान लें कि हमें अभिव्यक्ति (4+(4+(4−6:2))−1)−1 में क्रियाएं करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, हम आंतरिक कोष्ठक में क्रियाएं करते हैं, क्योंकि 4−6:2=4−3=1, उसके बाद मूल अभिव्यक्ति (4+(4+1)−1)−1 का रूप ले लेगी। हम फिर से आंतरिक कोष्ठक में कार्रवाई करते हैं, क्योंकि 4+1=5, हम निम्नलिखित अभिव्यक्ति (4+5−1)−1 पर पहुंचते हैं। फिर से हम कोष्ठक में क्रियाएँ करते हैं: 4+5−1=8, और हम अंतर 8−1 पर पहुँचते हैं, जो 7 के बराबर है।

आज हम बात करेंगे निष्पादन आदेशगणितीय कार्रवाई. आपको पहले क्या कार्रवाई करनी चाहिए? जोड़ और घटाव, या गुणा और भाग। यह अजीब है, लेकिन हमारे बच्चों को प्रतीत होने वाली प्राथमिक अभिव्यक्तियों को हल करने में समस्याएँ होती हैं।

इसलिए, याद रखें कि कोष्ठक में भावों का मूल्यांकन पहले किया जाता है

38 – (10 + 6) = 22 ;

प्रक्रिया:

1) कोष्ठक में: 10 + 6 = 16;

2) घटाव: 38 – 16 = 22.

यदि कोष्ठक के बिना किसी अभिव्यक्ति में केवल जोड़ और घटाव, या केवल गुणा और भाग शामिल है, तो संचालन बाएं से दाएं क्रम में किया जाता है।

10 ÷ 2 × 4 = 20;

प्रक्रिया:

1) बाएँ से दाएँ, विभाजन पहले: 10 ÷ 2 = 5;

2) गुणन: 5 × 4 = 20;

10 + 4 – 3 = 11, अर्थात:

1) 10 + 4 = 14 ;

2) 14 – 3 = 11 .

यदि कोष्ठक रहित अभिव्यक्ति में न केवल जोड़ और घटाव है, बल्कि गुणा या भाग भी है, तो क्रियाएँ बाएँ से दाएँ क्रम में की जाती हैं, लेकिन गुणा और भाग को प्राथमिकता दी जाती है, उन्हें पहले किया जाता है, उसके बाद जोड़ और घटाव किया जाता है।

18 ÷ 2 – 2 × 3 + 12 ÷ 3 = 7

प्रक्रिया:

1) 18 ÷ 2 = 9;

2) 2 × 3 = 6;

3) 12 ÷ 3 = 4;

4)9 – 6 = 3; वे। बाएँ से दाएँ - पहली क्रिया का परिणाम घटा दूसरे का परिणाम;

5) 3 + 4 = 7; वे। चौथी क्रिया का परिणाम और तीसरी क्रिया का परिणाम;

यदि किसी अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, तो कोष्ठक में अभिव्यक्ति पहले की जाती है, फिर गुणा और भाग, और उसके बाद ही जोड़ और घटाव किया जाता है।

30 + 6 × (13 – 9) = 54, अर्थात:

1) कोष्ठक में अभिव्यक्ति: 13 - 9 = 4;

2) गुणन: 6 × 4 = 24;

3) जोड़: 30 + 24 = 54;

तो, आइए संक्षेप में बताएं। गणना शुरू करने से पहले, आपको अभिव्यक्ति का विश्लेषण करने की आवश्यकता है: क्या इसमें कोष्ठक हैं और इसमें क्या क्रियाएं हैं। इसके बाद, निम्नलिखित क्रम में गणना के लिए आगे बढ़ें:

1) कोष्ठक में संलग्न क्रियाएँ;

2) गुणा और भाग;

3) जोड़ और घटाव.

यदि आप हमारे लेखों की घोषणाएँ प्राप्त करना चाहते हैं, तो न्यूज़लेटर "" की सदस्यता लें।