प्रकृति में स्वर्णिम अनुपात प्रायः क्यों पाया जाता है? प्रकृति और कला में स्वर्णिम अनुपात प्रकृति में स्वर्णिम अनुपात के उदाहरण।

ज्यामिति एक सटीक और काफी जटिल विज्ञान है, जो एक ही समय में एक प्रकार की कला है। रेखाएँ, तल, अनुपात - यह सब कई सचमुच सुंदर चीज़ें बनाने में मदद करते हैं। और अजीब तरह से, यह अपने सबसे विविध रूपों में ज्यामिति पर आधारित है। इस लेख में हम एक बहुत ही असामान्य चीज़ पर नज़र डालेंगे जिसका सीधा संबंध इससे है। स्वर्णिम अनुपात बिल्कुल ज्यामितीय दृष्टिकोण है जिस पर चर्चा की जाएगी।

किसी वस्तु का आकार और उसका बोध

लाखों लोगों के बीच किसी वस्तु को पहचानने के लिए लोग अक्सर उसके आकार पर भरोसा करते हैं। इसके आकार से ही हम यह निर्धारित करते हैं कि किस प्रकार की वस्तु हमारे सामने है या दूरी पर खड़ी है। हम लोगों को सबसे पहले उनके शरीर और चेहरे के आकार से पहचानते हैं। इसलिए, हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि आकार, उसका आकार और स्वरूप ही मानवीय धारणा में सबसे महत्वपूर्ण चीजों में से एक है।

लोगों के लिए, किसी भी चीज़ का रूप दो मुख्य कारणों से दिलचस्प होता है: या तो यह महत्वपूर्ण आवश्यकता से तय होता है, या यह सुंदरता से सौंदर्य आनंद के कारण होता है। सबसे अच्छी दृश्य धारणा और सद्भाव और सुंदरता की भावना सबसे अधिक बार तब आती है जब कोई व्यक्ति एक ऐसे रूप का अवलोकन करता है जिसके निर्माण में समरूपता और एक विशेष अनुपात का उपयोग किया गया था, जिसे सुनहरा अनुपात कहा जाता है।

स्वर्णिम अनुपात की अवधारणा

तो, स्वर्णिम अनुपात स्वर्णिम अनुपात है, जो एक हार्मोनिक विभाजन भी है। इसे और अधिक स्पष्ट रूप से समझाने के लिए, आइए फॉर्म की कुछ विशेषताओं पर नजर डालें। अर्थात्: एक रूप कुछ संपूर्ण होता है, और संपूर्ण, बदले में, हमेशा कुछ भागों से बना होता है। इन हिस्सों में संभवतः अलग-अलग विशेषताएं हैं, कम से कम अलग-अलग आकार हैं। खैर, ऐसे आयाम हमेशा एक निश्चित संबंध में होते हैं, आपस में भी और समग्र के संबंध में भी।

इसका मतलब दूसरे शब्दों में हम कह सकते हैं कि स्वर्णिम अनुपात दो मात्राओं का अनुपात है, जिसका अपना एक सूत्र होता है। किसी आकृति का निर्माण करते समय इस अनुपात का उपयोग करने से इसे मानव आँख के लिए यथासंभव सुंदर और सामंजस्यपूर्ण बनाने में मदद मिलती है।

स्वर्णिम अनुपात के प्राचीन इतिहास से

स्वर्णिम अनुपात का उपयोग आजकल जीवन के कई अलग-अलग क्षेत्रों में किया जाता है। लेकिन इस अवधारणा का इतिहास प्राचीन काल से जाता है, जब गणित और दर्शन जैसे विज्ञान उभर रहे थे। एक वैज्ञानिक अवधारणा के रूप में, स्वर्णिम अनुपात पाइथागोरस के समय, अर्थात् छठी शताब्दी ईसा पूर्व में उपयोग में आया। लेकिन इससे पहले भी, इस तरह के अनुपात के बारे में ज्ञान का उपयोग प्राचीन मिस्र और बेबीलोन में व्यवहार में किया जाता था। इसका स्पष्ट संकेत पिरामिड हैं, जिनके निर्माण के लिए ठीक इसी सुनहरे अनुपात का उपयोग किया गया था।

नई अवधि

पुनर्जागरण ने हार्मोनिक विभाजन में नई सांस लायी, विशेष रूप से लियोनार्डो दा विंची के लिए धन्यवाद। इस अनुपात का उपयोग ज्यामिति और कला दोनों में तेजी से होने लगा है। वैज्ञानिकों और कलाकारों ने सुनहरे अनुपात का अधिक गहराई से अध्ययन करना शुरू किया और ऐसी किताबें बनाईं जो इस मुद्दे की जांच करती हैं।

सुनहरे अनुपात से संबंधित सबसे महत्वपूर्ण ऐतिहासिक कार्यों में से एक लुका पंचोली की पुस्तक द डिवाइन प्रोपोर्शन है। इतिहासकारों को संदेह है कि इस पुस्तक का चित्रण विंची से पहले लियोनार्डो ने स्वयं किया था।

सुनहरा अनुपात

गणित अनुपात की बहुत स्पष्ट परिभाषा देता है, जो कहता है कि यह दो अनुपातों की समानता है। गणितीय रूप से, इसे निम्नलिखित समानता द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: ए: बी = सी: डी, ​​जहां ए, बी, सी, डी कुछ विशिष्ट मान हैं।

यदि हम दो भागों में विभाजित एक खंड के अनुपात पर विचार करें, तो हम केवल कुछ स्थितियों का सामना कर सकते हैं:

• खंड को दो बिल्कुल सम भागों में विभाजित किया गया है, जिसका अर्थ है एबी: एसी = एबी: बीसी, यदि एबी खंड की सटीक शुरुआत और अंत है, और सी वह बिंदु है जो खंड को दो समान भागों में विभाजित करता है।
• खंड को दो असमान भागों में विभाजित किया गया है, जो एक दूसरे से बहुत भिन्न अनुपात में हो सकते हैं, जिसका अर्थ है कि यहां वे पूरी तरह से अनुपातहीन हैं।
• खंड को इस प्रकार विभाजित किया गया है कि AB:AC = AC:BC.

जहाँ तक सुनहरे अनुपात की बात है, यह एक खंड का असमान भागों में आनुपातिक विभाजन है, जब पूरा खंड बड़े हिस्से से संबंधित होता है, जैसे बड़ा हिस्सा स्वयं छोटे से संबंधित होता है। एक और सूत्रीकरण है: छोटा खंड बड़े खंड से संबंधित है, जैसे बड़ा खंड पूरे खंड से संबंधित है। गणितीय शब्दों में, यह इस तरह दिखता है: a:b = b:c या c:b = b:a। स्वर्णिम अनुपात फॉर्मूला बिल्कुल ऐसा ही दिखता है।

प्रकृति में स्वर्णिम अनुपात

सुनहरा अनुपात, जिसके उदाहरण अब हम विचार करेंगे, प्रकृति में अविश्वसनीय घटनाओं को संदर्भित करता है। ये इस तथ्य के बहुत सुंदर उदाहरण हैं कि गणित केवल संख्याएँ और सूत्र नहीं है, बल्कि एक विज्ञान है जो प्रकृति और सामान्य रूप से हमारे जीवन में वास्तविक प्रतिबिंब से कहीं अधिक है।

जीवित जीवों के लिए जीवन का एक मुख्य कार्य विकास है। अंतरिक्ष में अपना स्थान लेने की यह इच्छा, वास्तव में, कई रूपों में होती है - ऊपर की ओर बढ़ना, लगभग क्षैतिज रूप से जमीन पर फैलना, या किसी प्रकार के सहारे पर सर्पिल में मुड़ना। और यह चाहे जितना अविश्वसनीय हो, कई पौधे सुनहरे अनुपात के अनुसार बढ़ते हैं।

एक और लगभग अविश्वसनीय तथ्य छिपकलियों के शरीर में संबंध है। उनका शरीर मानव आंखों को काफी सुखद लगता है और यह उसी सुनहरे अनुपात के कारण संभव है। अधिक सटीक होने के लिए, उनकी पूंछ की लंबाई पूरे शरीर की लंबाई से 62:38 के बराबर होती है।

स्वर्णिम अनुपात के नियमों के बारे में रोचक तथ्य

स्वर्णिम अनुपात वास्तव में एक अविश्वसनीय अवधारणा है, जिसका अर्थ है कि पूरे इतिहास में हम इस अनुपात के बारे में कई दिलचस्प तथ्य देख सकते हैं। हम आपको उनमें से कुछ प्रस्तुत करते हैं:

मानव शरीर में स्वर्णिम अनुपात

इस खंड में एक बहुत ही महत्वपूर्ण व्यक्ति का उल्लेख करना आवश्यक है, जिसका नाम है एस. ज़िज़िंगा। यह एक जर्मन शोधकर्ता हैं जिन्होंने स्वर्णिम अनुपात के अध्ययन के क्षेत्र में जबरदस्त काम किया है। उन्होंने सौंदर्यशास्त्र अध्ययन नामक एक कार्य प्रकाशित किया। अपने काम में, उन्होंने सुनहरे अनुपात को एक पूर्ण अवधारणा के रूप में प्रस्तुत किया जो प्रकृति और कला दोनों में सभी घटनाओं के लिए सार्वभौमिक है। यहां हम पिरामिड के सुनहरे अनुपात के साथ-साथ मानव शरीर के सामंजस्यपूर्ण अनुपात आदि को याद कर सकते हैं।

यह ज़ीसिंग ही था जो यह साबित करने में सक्षम था कि स्वर्णिम अनुपात, वास्तव में, मानव शरीर के लिए औसत सांख्यिकीय कानून है। यह व्यवहार में दिखाया गया, क्योंकि अपने काम के दौरान उन्हें बहुत सारे मानव शरीरों को मापना पड़ा। इतिहासकारों का मानना ​​है कि इस प्रयोग में दो हजार से ज्यादा लोगों ने हिस्सा लिया था. ज़ीसिंग के शोध के अनुसार, स्वर्णिम अनुपात का मुख्य संकेतक नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन है। इस प्रकार, 13:8 के औसत अनुपात वाला पुरुष शरीर महिला शरीर की तुलना में सुनहरे अनुपात के थोड़ा करीब है, जहां सुनहरा अनुपात 8:5 है। सुनहरा अनुपात शरीर के अन्य हिस्सों, जैसे हाथ, में भी देखा जा सकता है।

स्वर्णिम अनुपात के निर्माण के बारे में

वास्तव में, स्वर्णिम अनुपात का निर्माण एक साधारण मामला है। जैसा कि हम देखते हैं, प्राचीन लोगों ने भी इसका आसानी से सामना किया। हम मानव जाति के आधुनिक ज्ञान और प्रौद्योगिकियों के बारे में क्या कह सकते हैं। इस लेख में हम यह नहीं दिखाएंगे कि यह केवल कागज के एक टुकड़े पर और हाथ में पेंसिल लेकर कैसे किया जा सकता है, लेकिन हम विश्वास के साथ घोषणा करेंगे कि यह वास्तव में संभव है। इसके अलावा, यह एक से अधिक तरीकों से किया जा सकता है।

चूँकि यह एक काफी सरल ज्यामिति है, स्कूल में भी स्वर्णिम अनुपात का निर्माण करना काफी सरल है। इसलिए, इसके बारे में जानकारी विशेष पुस्तकों में आसानी से मिल सकती है। सुनहरे अनुपात का अध्ययन करके, छठी कक्षा के छात्र इसके निर्माण के सिद्धांतों को पूरी तरह से समझने में सक्षम हैं, जिसका अर्थ है कि बच्चे भी इस तरह के कार्य में महारत हासिल करने के लिए पर्याप्त स्मार्ट हैं।

गणित में स्वर्णिम अनुपात

व्यवहार में सुनहरे अनुपात के साथ पहला परिचय समान अनुपात में एक सीधी रेखा खंड के सरल विभाजन से शुरू होता है। अधिकतर यह एक रूलर, कम्पास और निश्चित रूप से, एक पेंसिल का उपयोग करके किया जाता है।

सुनहरे अनुपात के खंडों को एक अनंत अपरिमेय अंश AE = 0.618... के रूप में व्यक्त किया जाता है, यदि AB को एक के रूप में लिया जाता है, BE = 0.382... इन गणनाओं को अधिक व्यावहारिक बनाने के लिए, अक्सर वे सटीक नहीं, बल्कि अनुमानित का उपयोग करते हैं मान, अर्थात् - 0 .62 और .38। यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाए, तो इसका बड़ा भाग क्रमशः 62 भागों के बराबर होगा, और छोटा भाग क्रमशः 38 भागों के बराबर होगा।

स्वर्णिम अनुपात का मुख्य गुण समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: x 2 -x-1=0. हल करते समय, हमें निम्नलिखित मूल मिलते हैं: x 1.2 =। यद्यपि गणित एक सटीक और कठोर विज्ञान है, इसके खंड - ज्यामिति की तरह, यह स्वर्णिम खंड के नियमों जैसे गुण ही हैं जो इस विषय पर रहस्य पैदा करते हैं।

स्वर्णिम अनुपात के माध्यम से कला में सामंजस्य

संक्षेप में बताने के लिए, आइए संक्षेप में उस पर विचार करें जिस पर पहले ही चर्चा हो चुकी है।

मूल रूप से, कला के कई टुकड़े सुनहरे अनुपात के नियम के अंतर्गत आते हैं, जहां 3/8 और 5/8 के करीब अनुपात देखा जाता है। यह स्वर्णिम अनुपात का मोटा सूत्र है। लेख में अनुभाग का उपयोग करने के उदाहरणों के बारे में पहले ही बहुत कुछ उल्लेख किया गया है, लेकिन हम इसे प्राचीन और आधुनिक कला के चश्मे से फिर से देखेंगे। तो, प्राचीन काल के सबसे ज्वलंत उदाहरण:

जहाँ तक अनुपात के संभवतः सचेतन उपयोग की बात है, तो लियोनार्डो दा विंची के समय से यह जीवन के लगभग सभी क्षेत्रों में - विज्ञान से लेकर कला तक - उपयोग में आने लगा। यहां तक ​​कि जीव विज्ञान और चिकित्सा ने भी साबित कर दिया है कि सुनहरा अनुपात जीवित प्रणालियों और जीवों में भी काम करता है।

जब हम किसी खूबसूरत परिदृश्य को देखते हैं, तो हम अपने आस-पास की हर चीज़ से आलिंगनबद्ध हो जाते हैं। फिर हम विवरणों पर ध्यान देते हैं। कलकल करती नदी या भव्य वृक्ष। हमें एक हरा-भरा मैदान दिखाई देता है। हमने देखा कि कैसे हवा धीरे-धीरे उसे गले लगाती है और घास को इधर-उधर हिलाती है। हम प्रकृति की सुगंध महसूस कर सकते हैं और पक्षियों का गायन सुन सकते हैं... सब कुछ सामंजस्यपूर्ण है, सब कुछ एक दूसरे से जुड़ा हुआ है और शांति की भावना, सुंदरता की भावना देता है। धारणा थोड़े छोटे अंशों में चरणों में आगे बढ़ती है आप बेंच पर कहाँ बैठेंगे: किनारे पर, बीच में, या कहीं भी? अधिकांश का उत्तर होगा कि यह बीच से थोड़ा आगे है। आपके शरीर से किनारे तक बेंच के अनुपात की अनुमानित संख्या 1.62 होगी। सिनेमा में, लाइब्रेरी में, हर जगह ऐसा ही है। हम सहज रूप से सद्भाव और सुंदरता का निर्माण करते हैं, जिसे मैं पूरी दुनिया में "सुनहरा अनुपात" कहता हूं।

गणित में स्वर्णिम अनुपात

क्या आपने कभी सोचा है कि क्या खूबसूरती का पैमाना तय करना संभव है? इससे पता चलता है कि गणितीय दृष्टिकोण से यह संभव है। सरल अंकगणित पूर्ण सामंजस्य की अवधारणा देता है, जो स्वर्ण अनुपात के सिद्धांत के कारण त्रुटिहीन सुंदरता में परिलक्षित होता है। अन्य मिस्र और बेबीलोन की वास्तुकला संरचनाएं इस सिद्धांत का अनुपालन करने वाली पहली थीं। लेकिन पाइथागोरस इस सिद्धांत को प्रतिपादित करने वाले पहले व्यक्ति थे। गणित में, यह एक खंड का आधे से थोड़ा अधिक, या अधिक सटीक रूप से 1.628 का विभाजन है। यह अनुपात φ =0.618= 5/8 के रूप में प्रस्तुत किया गया है। एक छोटा खंड = 0.382 = 3/8, और संपूर्ण खंड को एक के रूप में लिया जाता है।

ए:बी=बी:सी और सी:बी=बी:ए

सुनहरे अनुपात के सिद्धांत का उपयोग महान लेखकों, वास्तुकारों, मूर्तिकारों, संगीतकारों, कला के लोगों और ईसाइयों द्वारा किया गया था, जिन्होंने चर्चों में इसके तत्वों के साथ चित्रलेख (पांच-नक्षत्र वाले सितारे, आदि) बनाए, बुरी आत्माओं से भागे, और अध्ययन करने वाले लोग सटीक विज्ञान, साइबरनेटिक्स की समस्याओं को हल करना।

प्रकृति और घटना में स्वर्णिम अनुपात.

पृथ्वी पर हर चीज़ आकार लेती है, ऊपर की ओर, किनारे की ओर या सर्पिल में बढ़ती है। आर्किमिडीज़ ने उत्तरार्द्ध पर पूरा ध्यान दिया और एक समीकरण बनाया। फाइबोनैचि श्रृंखला के अनुसार, एक शंकु, एक शंख, एक अनानास, एक सूरजमुखी, एक तूफान, एक मकड़ी का जाल, एक डीएनए अणु, एक अंडा, एक ड्रैगनफ्लाई, एक छिपकली है...

टिटिरियस ने साबित कर दिया कि हमारा पूरा ब्रह्मांड, अंतरिक्ष, गैलेक्टिक स्पेस - सब कुछ स्वर्ण सिद्धांत के आधार पर योजनाबद्ध है। कोई भी सजीव और निर्जीव हर चीज़ में उच्चतम सौंदर्य पढ़ सकता है।

मनुष्य में स्वर्णिम अनुपात.

हड्डियाँ भी प्रकृति द्वारा 5/8 के अनुपात के अनुसार डिज़ाइन की गई हैं। इससे "चौड़ी हड्डियों" के बारे में लोगों की शंकाएँ दूर हो जाती हैं। अनुपात में शरीर के अधिकांश भाग समीकरण पर लागू होते हैं। यदि शरीर के सभी अंग गोल्डन फॉर्मूला का पालन करते हैं, तो बाहरी डेटा बहुत आकर्षक और आदर्श अनुपात में होगा।

कंधों से सिर के शीर्ष तक का खंड और उसका आकार = 1:1 .618
नाभि से सिर के शीर्ष तक और कंधों से सिर के शीर्ष तक का खंड = 1:1 .618
नाभि से घुटनों तक और उनसे पैरों तक का खंड = 1:1 .618
ठोड़ी से ऊपरी होंठ के चरम बिंदु तक और उससे नाक तक का खंड = 1:1 .618


सभीचेहरे की दूरी आंखों को आकर्षित करने वाले आदर्श अनुपात का एक सामान्य विचार देती है।
उँगलियाँ, हथेलियाँ भी कानून का पालन करती हैं। यह भी ध्यान रखना चाहिए कि धड़ के साथ फैली हुई भुजाओं की लंबाई व्यक्ति की ऊंचाई के बराबर हो। क्यों, सभी अंग, रक्त, अणु स्वर्ण सूत्र के अनुरूप हैं। हमारे स्थान के अंदर और बाहर सच्चा सामंजस्य।

आसपास के कारकों के भौतिक पक्ष से पैरामीटर।

ध्वनि की मात्रा. ध्वनि का उच्चतम बिंदु, जिससे असहजता महसूस होती है और टखने में दर्द होता है = 130 डेसिबल। इस संख्या को अनुपात 1.618 से विभाजित किया जा सकता है, तो पता चलता है कि मनुष्य की चीख की ध्वनि = 80 डेसिबल होगी।
उसी विधि का उपयोग करते हुए, आगे बढ़ते हुए, हमें 50 डेसिबल मिलता है, जो मानव भाषण की सामान्य मात्रा के लिए विशिष्ट है। और अंतिम ध्वनि जो हमें सूत्र के कारण प्राप्त होती है वह एक सुखद फुसफुसाहट ध्वनि = 2.618 है।
इस सिद्धांत का उपयोग करके, तापमान, दबाव और आर्द्रता की इष्टतम-आरामदायक, न्यूनतम और अधिकतम संख्या निर्धारित करना संभव है। समरसता का सरल गणित हमारे संपूर्ण वातावरण में समाहित है।

कला में स्वर्णिम अनुपात.

वास्तुकला में, सबसे प्रसिद्ध इमारतें और संरचनाएं हैं: मिस्र के पिरामिड, मेक्सिको में माया पिरामिड, नोट्रे डेम डे पेरिस, ग्रीक पार्थेनन, पीटर पैलेस और अन्य।

संगीत में: एरेन्स्की, बीथोवेन, हवान, मोजार्ट, चोपिन, शूबर्ट और अन्य।

पेंटिंग में: प्रसिद्ध कलाकारों की लगभग सभी पेंटिंग क्रॉस-सेक्शन के अनुसार चित्रित की गई हैं: बहुमुखी लियोनार्डो दा विंची और अद्वितीय माइकलएंजेलो, लेखन में शिश्किन और सुरीकोव जैसे रिश्तेदार, शुद्धतम कला के आदर्श - स्पैनियार्ड राफेल, और इटालियन बॉटलिकली, जिन्होंने महिला सौंदर्य का आदर्श दिया, और कई अन्य।

कविता में: अलेक्जेंडर सर्गेइविच पुश्किन का क्रमबद्ध भाषण, विशेष रूप से "यूजीन वनगिन" और कविता "द शूमेकर", अद्भुत शोता रुस्तवेली और लेर्मोंटोव की कविता, और शब्दों के कई अन्य महान स्वामी।

मूर्तिकला में: अपोलो बेल्वेडियर, ओलंपियन ज़ीउस, सुंदर एथेना और सुंदर नेफ़रतिती की एक मूर्ति, और अन्य मूर्तियां और मूर्तियाँ।

फ़ोटोग्राफ़ी "तिहाई के नियम" का उपयोग करती है। सिद्धांत यह है: संरचना को लंबवत और क्षैतिज रूप से 3 बराबर भागों में विभाजित किया गया है, मुख्य बिंदु या तो चौराहे (क्षितिज) की रेखाओं पर या चौराहे (वस्तु) के बिंदुओं पर स्थित हैं। इस प्रकार अनुपात 3/8 और 5/8 हैं।
गोल्डन रेशियो के अनुसार, ऐसी कई तरकीबें हैं जिनकी विस्तार से जांच की जानी चाहिए। मैं अगले भाग में उनका विस्तार से वर्णन करूंगा।

जैविक अनुसंधान में 70-90. XX सदी यह दिखाया गया है कि, वायरस और पौधों से शुरू होकर मानव शरीर तक, हर जगह सुनहरा अनुपात प्रकट होता है, जो उनकी संरचना की आनुपातिकता और सामंजस्य को दर्शाता है।

सभी जीवित चीज़ें कोई न कोई रूप धारण करती हैं, आकार लेती हैं, बढ़ती हैं, अंतरिक्ष में जगह बनाने का प्रयास करती हैं और खुद को संरक्षित करती हैं। यह इच्छा मुख्य रूप से दो विकल्पों में साकार होती है - ऊपर की ओर बढ़ना या पृथ्वी की सतह पर फैलना और एक सर्पिल में घूमना।

सुनहरे आयत के प्रत्येक वर्ग में एक वृत्त का एक चौथाई भाग अंकित करके एक समबाहु सर्पिल प्राप्त किया जाता है। समबाहु सर्पिल घोंघे के खोल जैसा दिखता है। शंख का सुंदर आकार इस तथ्य के कारण है कि इसके खंड, जो वृत्तों के चाप हैं, अलग-अलग आकार के होते हैं, लेकिन उनका आकार एक जैसा होता है। घोंघे के खोल के उदाहरण का उपयोग करके, कोई देख सकता है कि इसकी संरचना का एक महत्वपूर्ण सिद्धांत मनाया जाता है: इसके स्राव का आकार बढ़ता है, लेकिन उनका आकार नहीं बदलता है।

सर्पिलाकार घुंघराले खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। उन्होंने इसका अध्ययन किया और सर्पिल के लिए एक समीकरण तैयार किया। इस समीकरण के अनुसार खींचे गए सर्पिल को उनके नाम से पुकारा जाता है। उसके कदम में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। वर्तमान में, आर्किमिडीज़ सर्पिल का व्यापक रूप से प्रौद्योगिकी में उपयोग किया जाता है।

सेब, नाशपाती और कई अन्य पौधों के पांच पंखुड़ियों वाले फूलों का सुनहरा अनुपात सर्वविदित है। सर्पिल को सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि की व्यवस्था में देखा गया था। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है।

सूरजमुखी के फूल और बीज, कैमोमाइल, अनानास फलों में तराजू, शंकुधारी शंकु "सुनहरे" सर्पिल के साथ "पैक" होते हैं, एक दूसरे की ओर मुड़ते हैं।

मकड़ी अपना जाल सर्पिल पैटर्न में बुनती है। एक तूफान सर्पिल की तरह घूम रहा है। भयभीत बारहसिंगों का एक झुंड एक सर्पिल में बिखर जाता है। पहाड़ी बकरियों के सींग सुनहरे सर्पिल में मुड़े होते हैं। आनुवंशिक कोड के वाहक - डीएनए और आरएनए अणु - में दोहरी हेलिक्स संरचना होती है; इसके आयाम लगभग पूरी तरह से फाइबोनैचि श्रृंखला की संख्याओं के अनुरूप हैं। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।

सड़क किनारे जड़ी-बूटियों के बीच एक अनोखा पौधा उगता है - चिकोरी। आइए इस पर करीब से नज़र डालें। मुख्य तने से एक अंकुर बन गया है। पहला पत्ता वहीं स्थित था। शूट अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन करता है, रुकता है, एक पत्ती छोड़ता है, लेकिन इस बार यह पहले की तुलना में छोटा है, फिर से स्पेस में इजेक्शन करता है, लेकिन कम बल के साथ, इससे भी छोटे आकार की एक पत्ती छोड़ता है और फिर से बाहर निकल जाता है . यदि पहला उत्सर्जन 100 इकाइयों के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 इकाइयों के बराबर होता है, तीसरा 38 इकाइयों के बराबर होता है, चौथा 24 इकाइयों के बराबर होता है, आदि। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। बढ़ते और अंतरिक्ष पर विजय प्राप्त करते समय, पौधे ने कुछ निश्चित अनुपात बनाए रखा। इसके विकास के आवेग सुनहरे अनुपात के अनुपात में धीरे-धीरे कम होते गए।

नगर राज्य शैक्षणिक संस्थान

"वैसोटिंस्काया सेकेंडरी स्कूल"

डिज़ाइन एवं अनुसंधान कार्य

"प्रकृति में स्वर्णिम अनुपात"

पुरा होना:

लापतेव पावेल, झावनोव एवगेनी

छठी कक्षा के छात्र

पर्यवेक्षक: ऐलेना अलेक्सेवना शक्लियायेवा, गणित शिक्षक

विसोटिनो, 2018

सामग्री

परिचय………………………………………………1

2. मुख्य भाग………………………………………………………………2

2.1. "गोल्डन रेशियो" के उद्भव और निर्माण का इतिहास………….2

2.2. परिभाषा, अनुपात के प्रकार…………………………………………2

2.3 प्रकृति में सुनहरे अनुपात का अनुप्रयोग………………………………3-4

2.4. सुनहरे अनुपात और प्रकृति में वस्तुओं के बीच संबंध…………………….6

3. व्यावहारिक भाग………………………………………………7

4. निष्कर्ष……………………………………………………8

9. सन्दर्भ………………………………………………9

परिचय

"जिज्ञासा - ऊर्जावान दिमाग के निश्चित लक्षणों में से एक"
जॉनसन सैमुअल

प्रासंगिकता।

अजीब, रहस्यमय, अकथनीय चीजें: ये दिव्य अनुपात रहस्यमय तरीके से सभी जीवित चीजों के साथ होते हैं। आप निश्चित रूप से यह अनुपात समुद्री सीपियों की वक्रता में, फूलों के आकार में, भृंगों की शक्ल में और सुंदर मानव शरीर में देखेंगे। हर जीवित चीज़ और हर चीज़ सुंदर - हर चीज़ ईश्वरीय नियम का पालन करती है, जिसका नाम "सुनहरा अनुपात" है। तो "सुनहरा अनुपात" क्या है?.. यह आदर्श, दिव्य संयोजन क्या है? शायद यही सुंदरता का नियम है? या यह अभी भी एक रहस्यमय रहस्य या वैज्ञानिक घटना है?

"गोल्डन सेक्शन" का अध्ययन करने की प्रासंगिकता इस तथ्य में निहित है कि हमारे आस-पास की कई वस्तुएं सुनहरे डिवीजन की आनुपातिकता रखती हैं।

परिकल्पना:

हम मानते हैं कि "सुनहरा अनुपात" एक प्रकार का गणितीय सूत्र है।

कार्य का उद्देश्य: प्रकृति में "स्वर्ण अनुपात" विषय पर नया ज्ञान प्राप्त करें।

कार्य

"गोल्डन सेक्शन" विषय पर सैद्धांतिक जानकारी का अध्ययन करें (साहित्य और इंटरनेट में विषय पर जानकारी प्राप्त करें);

​जानकारी का विश्लेषण करें और निष्कर्ष निकालें।

तैयार करनाइस मुद्दे पर प्रस्तुति.

दर्शकों के सामने बोलने का अनुभव प्राप्त करें।

खोज तरीका: वैज्ञानिक और शैक्षिक साहित्य का उपयोग करना, इंटरनेट पर आवश्यक जानकारी खोजना;

व्यावहारिक विधि: अवलोकन, माप करना।

विश्लेषण डेटा, साहित्य का अध्ययन करने और एक प्रस्तुति तैयार करने से प्राप्त किया गया।
कार्य का व्यावहारिक महत्व है"गणित" विषय का अध्ययन करने के लिए छात्रों की प्रेरणा बढ़ाने के लिए पाठों, वैकल्पिक कक्षाओं में इस कार्य की सामग्री का उपयोग करने का अवसर।

मुख्य भाग

विषय का सैद्धांतिक औचित्य.

2.1. "गोल्डन रेशियो" के उद्भव और निर्माण का इतिहास

यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्वर्णिम विभाजन की अवधारणा को प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा वैज्ञानिक उपयोग में लाया गया था (छठीवी ईसा पूर्व)। एक प्रस्ताव है कि पाइथागोरस ने स्वर्णिम विभाजन का अपना ज्ञान मिस्रियों और बेबीलोनियों से उधार लिया था। वास्तव में, चेप्स पिरामिड, मंदिरों और आधार-राहतों के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के स्वामी अपने दिमाग में सुनहरे विभाजन के अनुपात का उपयोग करते थे।महान पाइथागोरस ने एक गुप्त विद्यालय बनाया जहाँ "सुनहरे अनुपात" के रहस्यमय सार का अध्ययन किया गया। यूक्लिड ने अपनी ज्यामिति बनाते समय इसका उपयोग किया, और फ़िडियास ने - अपनी अमर मूर्तियां बनाते समय। प्लेटो ने कहा कि ब्रह्माण्ड "सुनहरे अनुपात" के अनुसार व्यवस्थित है। और अरस्तू ने "सुनहरे अनुपात" और नैतिक कानून के बीच एक पत्राचार पाया।

स्वर्णिम अनुपात प्राचीन मिस्र और बेबीलोन, भारत और चीन में जाना जाता था।

2.2 शब्दअनुपात का अर्थ है "आनुपातिकता", "भागों के बीच एक निश्चित संबंध।"

स्वर्णिम अनुपात और यहां तक ​​कि "दिव्य अनुपात" को प्राचीन काल और मध्य युग के गणितज्ञों द्वारा कहा जाता थाकिसी खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन जिसमें संपूर्ण खंड बड़े भाग से संबंधित होता है जैसे कि बड़ा भाग स्वयं छोटे से संबंधित होता है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े के लिए है और बड़ा संपूर्ण के लिए है।

ए : बी = बी : सी या साथ : बी = बी : ए

इसलिए,स्वर्णिम अनुपात = 1:1.618. यह अनुपात लगभग बराबर है0,618 ≈ 5/8.

स्वर्णिम अनुपात का उपयोग कला, वास्तुकला, शिल्प के विकास के कार्यों में किया जाता है और यह प्रकृति में पाया जाता है।

"सुनहरा अनुपात" वनस्पति जगत में पाया जाता हैऔर पशु जगत. प्रकृति की रचनात्मक प्रवृत्ति - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता - लगातार टूटती रहती है। यहां "गोल्डन रेशियो" विकास की दिशा के लंबवत भागों के अनुपात में दिखाई देता है। आइए उदाहरण देखें.

छिपकली में, पहली नज़र में, हम ऐसे अनुपात देख सकते हैं जो हमारी आँखों को भाते हैं - इसकी पूंछ की लंबाई पूरे शरीर की लंबाई से 62:38 के बराबर होती है।

पहली नज़र में एरिट्सा उन अनुपातों को पकड़ लेता है जो हमारी आँखों को भाते हैं - इसकी लंबाई

आइए एक हाउसप्लांट के योजनाबद्ध रूप से चित्रित टुकड़े पर करीब से नज़र डालें।

मुख्य तने से एक अंकुर बन गया है। पहला पत्ता वहीं स्थित था। प्ररोह अंतरिक्ष में एक मजबूत निष्कासन करता है, रुकता है और एक पत्ती छोड़ता है, लेकिन इस बार पहले वाले से छोटा, फिर से अंतरिक्ष में निष्कासन करता है, लेकिन कम बल के साथ, आकार में और भी छोटी पत्ती छोड़ता है। यदि पहला उत्सर्जन 100 इकाइयों के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 इकाइयों के बराबर होता है, तीसरा 38 इकाइयों के बराबर होता है, चौथा 24 इकाइयों के बराबर होता है, आदि।

पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात का अनुसरण करती है। विकास और अंतरिक्ष पर विजय में, पौधा कुछ निश्चित अनुपात बनाए रखता है। इसके विकास के आवेग सुनहरे अनुपात के अनुपात में धीरे-धीरे कम होते गए।

एक पौधे के सामान्य तने पर पत्तियों के लगातार तीन जोड़े के स्थान को ध्यान में रखते हुए, आप देख सकते हैं कि पहले और तीसरे जोड़े के बीच दूसरा "सुनहरा अनुपात" पर स्थित है।

ए बी सी

यदि आप दूरी AC और दूरी BC मापें और अनुपात ज्ञात करेंरवि: ए.सी , तो यह लगभग बराबर है0,618 , यानी सुनहरे अनुपात का पालन करता है (तालिका 1 देखें)।

तालिका नंबर एक। पौधे के भागों का अनुपात

एसी (मिमी)

166

250

133

142

220

187

सूर्य (मिमी)

103

170

136

115

रवि:एएस

0,62

0,68

0,624

0,608

0,67

0,613

0,615

निष्कर्ष: अवलोकन संबंधी परिणाम बताते हैं कि विकास और अंतरिक्ष पर विजय प्राप्त करने में, पौधा कुछ निश्चित अनुपात बनाए रखता है। इसके विकास आवेग स्वर्णिम अनुपात के अनुपात में धीरे-धीरे कम होते जाते हैं।

2.3. "स्वर्णिम अनुपात और स्वर्णिम सर्पिल के बीच संबंध"

गोल्डन सेक्शन के अनुपात का उपयोग करके, आप गोल्डन स्पाइरल का निर्माण कर सकते हैं। तो, आइए भुजा 1 वाला एक छोटा वर्ग बनाएं। एक वर्ग 1 2 1 होगा। आइए पहले वाले के बगल में एक दूसरे के करीब एक और वर्ग बनाएं। इसके बाद अगली अनुपात संख्या 2 (1+1) है। दो वर्ग 2 2 4 होगा। आइए पहले दो वर्गों के करीब एक और वर्ग बनाएं, लेकिन अब 2 की भुजा और 4 के क्षेत्रफल के साथ अगली संख्या 3 (1+2) है। संख्या 3 का वर्ग 9 है। पहले से खींचे गए अंकों के बगल में भुजा 3 और क्षेत्रफल 9 वाला एक वर्ग बनाएं। इसके बाद हमारे पास भुजा 5 और क्षेत्रफल 25 वाला एक वर्ग है, भुजा 8 और क्षेत्रफल 64 वाला एक वर्ग है - और इसी तरह, अनंत तक।

आइए एक सुनहरा सर्पिल बनाएं। आइए वर्गों के बीच के सीमा बिंदुओं को एक चिकनी घुमावदार रेखा से जोड़ें। और हमें वह सुनहरा सर्पिल मिलता है, जिसके आधार पर प्रकृति में कई जीवित और निर्जीव वस्तुओं का निर्माण होता है।

2.4 "स्वर्णिम अनुपात और प्राकृतिक वस्तुओं के बीच संबंध"

स्वर्णिम अनुपात सर्पिल की एक शुरुआत होती है जहां से यह खुलना शुरू होता है। यह बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति है. यह प्रकृति को, अगले बंद चक्र के बाद, खरोंच से एक नया सर्पिल बनाने की अनुमति देता है।

पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की पेचदार और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले ही देखी गई थी। सर्पिल को सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि की व्यवस्था में देखा गया था।

वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है।

समुद्र की लहरें सर्पिलाकार घूमती हैं।

मकड़ी सर्पिल पैटर्न में जाल बुनती है

एक तूफान सर्पिलतारामछली 13 किरणें

सुनहरे अनुपात के सर्पिल विभिन्न जीवों की आकृति विज्ञान में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, तारामछली. उनकी किरणों की संख्या आनुपातिक विभाजन में संख्याओं की श्रृंखला से मेल खाती है और 5, 8, 13, 21, 34, 55 के बराबर है।

सुनहरे अनुपात की बदौलत मंगल और बृहस्पति के बीच क्षुद्रग्रह बेल्ट की खोज की गई - अनुपात के अनुसार, वहां एक और ग्रह होना चाहिए।

व्यावहारिक भाग.

अध्ययन का उद्देश्य: विलो टहनी और अन्य प्राकृतिक वस्तुएँ

आइए विलो शाखाओं का अध्ययन करें और निर्धारित करें कि विलो शाखा पर कलियाँ कहाँ स्थित हैं.

हमने नीचे से ऊपर की ओर बढ़ते हुए, किस स्थान पर और किस क्रम में कलियाँ उगती हैं, इसका रेखाचित्र बनाया। सबसे पहले, कली संख्या 1 बढ़ी, फिर 2, फिर 3, फिर 4 और 5, और 6 कली। यह अध्ययन एक छोटे से क्षेत्र पर किया गया।

अनुसंधान प्रक्रिया के दौरान हम ऐसा करते हैंनिष्कर्ष, कि कलियाँ इस तरह से स्थित हों कि वे एक-दूसरे को "कवर" न करें, प्रत्येक भविष्य के पत्ते को पर्याप्त धूप मिलेगी। एक शाखा पर कलियाँ कड़ाई से गणितीय क्रम में दोहराए जाने वाले सर्पिल के रूप में व्यवस्थित होती हैं।

निष्कर्ष

सुनहरे अनुपात का हमारे जीवन में कई अनुप्रयोग हैं और यह जीवित प्रकृति में पाया जाता है।

प्राकृतिक घटनाओं और वस्तुओं की नियमितता (विलो टहनी के उदाहरण का उपयोग करके), जीवित जीवों की संरचना और विविधता को गणितीय दृष्टिकोण से समझाया जा सकता है, अर्थात् आनुपातिक विभाजन के पैटर्न और व्यवस्था के पैटर्न के अस्तित्व से एक सर्पिल के रूप में. "गोल्डन स्पाइरल"

5. स्रोतों और साहित्य की सूची

1. विकिपीडिया:

2. लैंडिंग चरण एल.ए., प्रकृति में संख्याएं और सूत्र, दिलचस्प पर दिलचस्प और उपयोगी। जानकारी

3. वेबसाइट http://www.ed.vsevad.ru/

पूरे इतिहास में, मानवता ने कई अनूठे पैटर्न की खोज की है जिन्हें विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक अनुप्रयोग मिला है। उनमें से एक है स्वर्णिम अनुपात।

यह किसी वस्तु को उस अनुपात में 2 भागों में विभाजित करने का वर्णन करता है जिसमें छोटा भाग बड़े भाग से संबंधित होता है, जैसे बड़ा भाग वस्तु के पूर्ण आकार से संबंधित होता है। इस भ्रामक परिभाषा का एक उदाहरण एक आयताकार पत्ते का विभाजन है: एक पूर्ण पत्ते से एक छोटे आयत को काटने से, बाद वाले का पहलू अनुपात बड़े के समान ही होगा। एक अन्य उदाहरण पाँच सिरों वाला एक तारा है: इस ज्यामितीय आकृति में, इसकी किरणों को जोड़ने वाले प्रत्येक खंड को इस नियम के अनुसार इसे प्रतिच्छेद करने वाले खंड द्वारा विभाजित किया गया है।

स्वर्णिम अनुपात नियम कैसे आया?

इसकी उत्पत्ति का इतिहास सुदूर अतीत तक जाता है। इसका वर्णन प्राचीन वैज्ञानिक और विचारक यूक्लिड के कार्य "एलिमेंट्स" में किया गया था, ये पहले दस्तावेजी उल्लेख हैं। प्राचीन यूनानी गणितज्ञ अकेले नहीं थे जिन्होंने इस नियम पर ध्यान दिया और सक्रिय रूप से इसका उपयोग किया। बहुत बाद में, इसे लियोनार्डो दा विंची द्वारा "दिव्य अनुपात" कहकर और मार्टिन ओम द्वारा उपयोग किया गया था। बाद वाले ने इस शब्द को 1835 में प्रयोग में लाया।

मैं आपसे कहाँ मिल सकता हूँ?

प्रकृति में सुनहरा अनुपात पौधों में देखा जा सकता है: जैसे-जैसे वे बढ़ते हैं, वे दिए गए अनुपात को बनाए रखते हैं। और जर्मन वैज्ञानिक ज़ीसिंग ने पाया कि नाभि बिंदु पर मानव शरीर का विभाजन भी इसी नियम से मेल खाता है। इस घटना को निम्नलिखित क्षेत्रों में भी नोट किया गया है:

• वास्तुकला - कई सदियों पहले बनाए गए मिस्र के पिरामिड;
• संगीत - मोजार्ट और बीथोवेन द्वारा काम करता है;
• मूर्तिकला - कई पत्थर संरचनाओं का अनुपात नियम के अनुसार बनाया गया है;
• पेंटिंग - कलाकार वासिली सुरिकोव ने कहा कि पेंटिंग में एक कानून है कि काम में कुछ भी जोड़ा या हटाया नहीं जा सकता (समान गणितीय सिद्धांतों का उपयोग किया जाता है)।

उपयोग का दायरा काफी व्यापक है; कुछ लोग इसे रोजमर्रा की छोटी-छोटी चीजों में भी देखते हैं, जो निस्संदेह एक मजबूत अतिशयोक्ति है। हालाँकि, प्राचीन काल में खोजा गया नियम आज भी सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है।